бесплатно рефераты
 
Главная | Карта сайта
бесплатно рефераты
РАЗДЕЛЫ

бесплатно рефераты
ПАРТНЕРЫ

бесплатно рефераты
АЛФАВИТ
... А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

бесплатно рефераты
ПОИСК
Введите фамилию автора:


Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

¹ 0 хотя бы в части этой области, называемой вихрем.

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

Из определения Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

(1.6) следует, что вихревое движение характеризуется наличием вращения

каждой частицы. Этот факт иллюстрируется рис. 1, на котором крайние

точки бесконечно малой частицы среды имеют разные скорости в силу наличия

ненулевой величины Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

. Если центр этой частицы покоится, а все другие частные производные скорости

равны нулю, то очевидно, что Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

¹ 0 характеризует именно вращение бесконечно малой частицы среды. В

безвихревом движении такого вращения нет и каждая частица среды совершает лишь

поступательное движение. Вообще говоря, вихревое движение возникает в реальной

природе, благодаря наличию границ (свободной поверхности, твердых стенок или

твердых тел), а также явлению вязкости.

Примерами безвихревого движения могут служить:

состояние покоя среды,

поступательное движение,

источник и сток (когда частицы среды

выходят из точки или входят в нее строго по лучам),

движение среды вокруг некоторого кругового цилиндра по концентрическим

окружностям со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию от оси цилиндра.

Примерами вихревого движения могут служить:

плоский сдвиг (когда скорость частиц вдоль некоторой плоскости

пропорциональна расстоянию от этой плоскости),

вращение среды вокруг некоторой оси, как твердого тела (в отличие от

потенциального движения аналогичной геометрии в этом случае скорость с

удалением от оси линейно возрастает!).

2. ДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

2.1. Силы и моменты в механике сплошной среды

Силы, распределенные по объему W, называются объемными

или массовыми. Они обозначаются Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

и относятся к элементу массы Dm = rDW. Т.е. сила, действующая на

элемент массы, равна Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

Dm = Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 rDW

, следовательно, размерность Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

совпадает с размерностью ускорения. Примерами массовых сил могут служить

гравитационные, электромагнитные, инерционные.

Силы, распределенные по поверхности S, называются поверхностными

. Поверхностные силы будем обозначать вектором Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

и относить к элементу поверхности DS сплошной среды. Т.е. Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

имеет размерность давления. Такие силы возникают, например, на свободной

поверхности среды, при взаимодействии среды с твердыми телами, а также внутри

среды (внутренние поверхностные силы).

Внутренние поверхностные силы необходимо рассматривать при изучении движения

отдельных частиц среды с учетом их механического влияния друг на друга. Так,

например, происходит при относительном движении двух соседних соприкасающихся

частиц. Это явление может наблюдаться в любом месте сплошной среды, причем для

бесконечно малых частиц поверхности соприкосновения dS можно

построить любым образом. Тогда и Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

, зависящее от такого выбора, можно определить по-разному в зависимости от dS

, т.е. ориентации нормали этой площадки, поэтому такое взаимодействие обозначим

вектором Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 S

. В силу третьего закона Ньютона на одну из пары соприкасающихся частиц

действует сила Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

SdS, на другую –Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

SdS. Однако если соприкосновения нет, т.е. если движение имеет

разрыв каких-то своих характеристик, то последнее условие может нарушаться.

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

Вектор Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 S

в общем случае не перпендикулярен к dS, поэтому различают нормальную

составляющую pSn, называемую нормальным напряжением

или нормальным давлением, и тангенциальную pSt,

называемую касательным напряжением или внутренним трением

: Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 S

dS = pSnЛекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

dS + pStt dS.

Свойство вектора Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

S рассмотрим с помощью представления бесконечно малой частицы в виде

тетраэдра с ребрами, параллельными осям координат (рис. 2). Площади граней

такого тетраэдра равны S, S×cos(Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

,x), S×cos(Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

,y), S×cos(Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

,z).

Массовые силы будем считать постоянными во всем объеме W = hS/3

бесконечно малой частицы, а поверхностные силы Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

1, Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 2

, Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 3

, Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 S

постоянными на своих гранях. Это позволит применить к частице начало Даламбера

из теоретической механики:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

откуда, сократив на S, и перейдя к пределу при h ® 0, получаем

инвариантное к выбору площадки равенство:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 . (2.1)

Это означает, что существует некоторый объект P, компонентами

которого можно рассматривать векторы Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

, или даже элементы матрицы (pij) – матрицы из компонент

векторов Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 . Объект P

с компонентами pij называется тензором внутренних

напряжений.

Равенство (2.1) позволяет применить теорему Остроградского-Гаусса (1.10) к

расчету поверхностных сил:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

(2.2)

Кроме сил на каждую частицу жидкости могут действовать и моменты. Примером может

служить момент магнитного поля Земли, действующий на каждый элемент стрелки

компаса. Такой момент, который действует на элемент массы Dm, будем

обозначать Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 .

Его принято называть массовой парой (мас­совым моментом

). Размерность Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

совпадает с размерностью квадрата скорости.

Момент, который действует на элемент поверхности DS, будем обозначать Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

. Он называется поверхностной парой (поверхност­ным

моментом) и имеет размерность силы, деленной на длину.

2.2. Уравнения движения сплошной среды

В теоретической механике известно уравнение количества движения материальной

точки:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 ,

где в правой части равенства стоит сумма всех действующих на нее сил. Обобщим

это уравнение на конечный объем сплошной среды, состоящей из частиц, как

системы материальных точек, подверженных действию рассмотренных в разделе 2.1

объемных и поверхностных сил:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 . (2.3)

Уравнение количества движения конечного объема сплошной среды

(2.3), являющееся аналогом второго закона Ньютона, имеет такое же

фундаментальное значение для описания любых движений сплошной среды. Оно

справедливо и для разрывных движений, и для ударных процессов,

характеризующихся разрывными функциями координат и времени (но не нарушениями

гипотезы сплошности – см. раздел 1.1).

Заменив последнее слагаемое в (2.3) с помощью (2.2), получим:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 ,

левую часть которого преобразуем с помощью (1.12):

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 .

Это позволит записать равенство подынтегральных выражений для элементарного

объема:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 .

Левую часть этого уравнения в свою очередь можно преобразовать с помощью

уравнения неразрывности (1.16):

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

Таким образом, получено основное дифференциальное уравнение движения

сплошной среды:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 , (2.4)

или в проекциях на оси декартовой системы координат:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 (2.5)

где Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 компоненты массовой силы Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 .

Отметим, что уравнения (2.4) и (2.5) получены при следующих предположениях:

– непрерывность и дифференцируемость векторов напряжений Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 1, Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 2, Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 3,

неразрывность среды,

непрерывность характеристик движения.

Итак, для описания движения сплошной среды имеются: скалярное уравнение

неразрывности (1.16) и одно векторное (2.4) или три скалярных (2.5) уравнения

движения. В этой системе уравнений при заданных внешних массовых силах Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

(Fx,Fy,Fz) неизвестными функциями

пространственных координат и времени являются: плотность r, скорость Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

(Vx,Vy,Vz) и три вектора напряжений Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

1(p11,p21,p31), Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

2(p12,p22,p32)

, Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 3

(p13,p23,p33) со своими

девятью координатами. Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то

система незамкнута. Для ее замыкания необходимо использовать дополнительные

соотношения между неизвестными. Такие соотношения может дать модель конкретной

среды.

2.3. Виды сплошной среды

Экспериментальные данные показывают, что большинство сред обладает специфическим

свойством: отсутствием или малостью касательных напряжений pS

t, т.е. вектор Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

S можно считать перпендикулярным любой площадке взаимодействия dS и

равным нормальному напряжению pSn. Среду, обладающую таким

свойством называют идеальной жидкостью или идеальным

газом. Близки к таковым обычные воздух и вода при малых скоростях.

Указанное свойство для любой площадки с нормалью Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

можно выразить соотношением, вытекающим из (2.1):

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 ,

где p общее значение скалярных произведений. Величину

p называют давлением. Его особенность заключается в

независимости от направления рассматриваемого взаимодействия частиц. При p

> 0 среда, как показывает опыт, находится в сжатом состоянии, поэтому и

использован знак минус. Таким образом, матрица компонент тензора внутренних

напряжений в идеальной жидкости (газе) имеет вид:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 , (2.6)

и тензор P целиком определяется скаляром p.

Понятно, что идеальная жидкость не единственно возможная модель сплошной среды,

позволяющая определить компоненты тензора внутренних напряжений. Можно,

например, рассматривать его компоненты как функции от деформации частицы: в

этом случае среда называется упругой. В частном случае

линейности это соотношение приобретает вид закона Гука.

Изучением таких сред занимается теория упругости.

Особое место в механике сплошной среды занимает модель вязкой жидкости

, предполагающая связь тензора внутренних напряжений с частными производными

скорости по координатам. Имеется в виду эффект "трения" слоев вязкой жидкости

между собой при наличии разности их поступательных скоростей. В частном случае

линейности связь представляется в виде закона Навье-Стокса (или

обобщенного закона вязкости Ньютона):

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

, (2.7)

где Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 – элементы

единичной матрицы (с единицами на главной диагонали и нулями на всех остальных

местах), матрица размерности 3´3, обозначенная emn

, называется тензором скоростей деформации, а тензорный

коэффициент линейности Bijmn описывает

свойства вязкой жидкости.

Если свойства среды в разных направлениях одинаковы, то она называется

изотропной, в противном случае анизотропной. В

изотропной среде Bijmn представляется

симметричной матрицей размерности 3´3´3´3, одинаковой в любой

системе координат. Можно показать [1], что в этом случае все компоненты тензора

Bijmn выражаются всего лишь через два

независимых параметра l и m, называемых коэффициентами Ламе,

поэтому закон Навье-Стокса для вязкой изотропной жидкости имеет вид:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 . (2.8)

В теории вязкой жидкости m называется коэффициентом внутреннего трения

или динамическим коэффициентом вязкости, Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

кинематическим коэффициентом вязкости (коэффициен­том линейной

вязкости), Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

вторым коэффициентом вязкости (коэффициентом объемной вязкости).

Размерность m, l и z в СИ: Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

.

Нетрудно видеть, что упомянутые модели для идеальной и вязкой жидкости вводят

еще одну неизвестную давление p. Т.е. для замыкания системы

уравнений движения сплошной среды оказывается необходимым еще одно скалярное

соотношение. В этом качестве чаще всего применяются уравнения, представляющие

различные гипотезы связи плотности и давления:

Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 .

Если такое соотношение можно ввести, то жидкость называется баротропной

. Выделяются следующие частные случаи.

1. Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 – случай несжимаемой жидкости, или Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 .

2. Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 , где C постоянная, – случай изотермического процесса.

3. Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 , где C

и n – постоянные, – случай политропического процесса

, n называется показателем политропы.

4. Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1 – уравнение

Клапейрона-Менделеева для совершенного газа, где Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

универсальная газовая постоянная, Лекция: Полные лекции по аэродинамике и динамике полета. Часть 1

– масса вещества в кг, численно равная молекулярному весу, T

абсолютная температура, которую необходимо задавать еще одним дополнительным

соотношением.

Страницы: 1, 2


бесплатно рефераты
НОВОСТИ бесплатно рефераты
бесплатно рефераты
ВХОД бесплатно рефераты
Логин:
Пароль:
регистрация
забыли пароль?

бесплатно рефераты    
бесплатно рефераты
ТЕГИ бесплатно рефераты

Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, сочинения, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое.


Copyright © 2012 г.
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна.